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EL GRADO 33 Y LA LEMNISCATA DE BERNOULLI

 1.- INTRODUCTION

En el punto 2.1, Capítulo 5 de "El Método del Símbolo"  (Deducción de la geometría del espacio de fases), se comentaba que:

• Multiplicar un número cualquiera por (-1) equivale a provocar un giro de 180 grados al vector que tenga por módulo dicho número

Y también se ha demostrado que si en vez de provocar un giro de 180 grados, lo que queremos es que el vector gire un número cualquiera de grados expresados en el sistema sexagesimal, la función que expresará todos los grados de giro posibles será:

i ^{g / 90}

Para intentar calcular cual es el valor numérico que arroja la expresión anterior al asignar a g un valor angular concreto, nos encontramos con el problema de que la base de la función es el número imaginario i y por tanto su cálculo es imposible con los métodos algebraicos habituales, lo cual se puede visualizar fácilmente con el siguiente ejemplo:

Supongamos que queremos calcular el valor de la expresión  i ^{30 / 90}   y sustituimos i por su valor numérico que como sabemos es la raíz cuadrada de menos uno. Lo que obtendremos será:

( (-1) ^½ ) ^30/90 = ( (-1) ^0,5) ^0,333

Es decir; deberemos elevar a un tercio la raíz cuadrada de menos uno, cosa imposible de realizar con una calculadora y además imposible de realizar con cualquiera de los métodos habituales de cálculo aritmético conocidos.

Si se pudieran resolver los cálculos anteriores se podría saber cual es el tamaño del módulo del vector en cada uno de los ángulos de giro, es decir se podría conocer como varía la intensidad asociada al vector unitario a medida que gira.

 2.- LOS NÚMERO COMPLEJOS

El método matemático habitual para enfrentarse con los números imaginarios, consiste en abordarlos a través de los números complejos.

Un número complejo es un número que tiene una parte real y otra imaginaria. El sistema de coordenadas de la que parten los números complejos es un sistema mas genuinamente matemático que el que se conoce habitualmente como sistema de coordenadas cartesiano. En efecto:

El sistema de ejes cartesianos es una técnica atribuida a Descartes que consiste en dos rectas de números reales una a noventa grados de la otra y con la intersección de ambas en el punto denominado cero, denominándose eje de las X al eje horizontal y eje de las Y al eje vertical situado a 90 grados del anterior; pero dicha disposición no emerge de la matemática, sino que es tan solo una técnica (un truco) muy útil e ingenioso, pero una técnica en suma.

Muy diferente es el sistema de coordenadas empleado en los números complejos, porque dicho sistema si emerge de forma natural de la matemática ya que en el se toma como base el eje X que representa a la recta real y a partir del mismo se obtiene el eje vertical Y, con un giro de 90 grados provocado matemáticamente, esto es multiplicando el eje horizontal por la raíz cuadrada de menos uno, que como sabemos equivale a un giro angular de 90 grados:

(X = Recta real)    Y = X . (-1) ^½

Con lo cual la disposición del sistema consiste en un eje de las X real y un eje imaginario para las Y, que no es mas que la misma recta real del eje de las X, pero multiplicada por la raíz cuadrada de menos uno.

La expresión vectorial que permitirá representar un vector cualquiera en dicho espacio complejo, es:  V = A + i B

Ya que un vector cualquiera que gira en dicho espacio es siempre la suma vectorial del componente "real" A que se apoya en el eje de las X y del componente "imaginario" B que se apoya en el eje de las Y.

Desprendiéndose inmediatamente de su representación gráfica que el ángulo girado por el vector y el módulo de dicho vector serán respectivamente

Angulo girado = arco tangente ( B / A )   Modulo del Vector = ( A² + B² ) ^½

En estas condiciones y si tal como nos interesa a nosotros, consideramos que el vector de giro es unitario, la expresión del módulo del vector será directamente:  Modulo = ( coseno ángulo ² + seno ángulo ² ) ^½

Expresión algebraica ésta que si se puede calcular directamente, incluso con una calculadora científica y para cualquier ángulo de giro, pero entonces ocurre que el resultado que obtenemos es siempre igual a 1, sea cual sea el ángulo girado, ya que la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados del coseno y del seno de cualquier ángulo es siempre igual a 1.

En conclusión:

El sistema de representación de números complejos no nos sirve para el fin buscado, que recordemos es obtener la expresión numérica de la función algebraica "raiz cuadrada de menos uno elevada a los grados de giro divididos por 90" y el porqué de dicha imposibilidad es que la notación V = A + i.B no es una función algebraica, sino que es la representación algebraica de una suma vectorial.

Es decir, en el plano complejo y ante otra vez la imposibilidad de atacar la raíz cuadrada de menos uno directamente, algebraicamente, recurre al truco de cambiar el enfoque algebraico por el enfoque vectorial, con lo cual la representación que ofrece es solo una notación vectorial referida a los ejes X (real) e Y (imaginario) del estado de giro de los vectores a partir de un germen vectorial de módulo unitario que permanece constantemente igual a uno, pero es que nosotros lo que queremos es atacar precisamente dicho germen, que si bien es unitario en origen (cuando el ángulo de giro es igual a cero), puede no serlo en otros estados de giro y la solución a ese problema se encuentra en la Lemniscata de Bernoulli.
 

3.- .- LA LEMNISCATA DE BERNOULLI

La Lemniscata se considera actualmente como un caso particular de los óvalos estudiados por Cassini en 1680 (Jean Dominique Cassini 1625-1712), pero son Jackob Bernoulli (1655-1705) y Johann Bernoulli (1667-1748) los que la descubrieron y dieron a conocer independientemente, al intentar resolver un problema planteado por Leibnitz (Gottfried Wihelm Leibniz 1646-1716) creador, junto con Newton (Isaac Newton 1642-1727) del cálculo infinitesimal, que lanzó a la comunidad científica de la época el reto de encontrar la ecuación de la isócrona paracéntrica. La solución encontrada fue la Lemniscata que en honor a los hermanos Bernoulli paso a denominarse Lemniscata de Bernoulli.

En la Lemniscata, cuando se parte de un vector inicial de longitud igual a 1, el área encerrada en el cuadrante formado por X = eje real e Y = eje imaginario, es exactamente igual a un cuartillo (0,25 unidades de área).

Actualmente, y desde que John Wallis (1616-1703) la usó por primera vez como símbolo, en su obra "Arithmetica Infinitorum" y seguramente por los siglos de los siglos venideros, la Lemniscata de Bernoulli es el símbolo del infinito (el famoso ocho tumbado), con lo cual se puede decir que "simbólicamente" la solución numérica del germen angular función de i está encerrado en el símbolo del infinito.

Aplicando las ecuaciones de la isócrona paracéntrica se obtienen los siguientes valores numéricos de la función "raíz cuadrada de menos uno elevada a los grados de giro divididos por 90":

Mas allá de los 45 grados los módulos del vector V son imaginarios,
y a partir de los 135 grados los módulos de V vuelven a ser reales. En efecto:

A partir de las tabulaciones numéricas anteriores de la isócrona paracéntrica, se infiere el límite del orden, es decir se infiere el ángulo del vector a partir del cual el orden en el campo de factores angulares asociados o espacio de fases angular contenido en la Caja de Edgeworth, se difumina, hecho que como analizaremos en el punto que sigue a continuación, ocurre a partir del grado 33.

 4.- EL GRADO 33 COMO LÍMITE DEL ORDEN

En "El  Metodo del Símbolo" punto "1.1.5.- .-Nota histórica y recuento fractal" y en el punto "3.2.- Construcción de un campo de factores angulares asociados", vimos que la probabilidad de encontrar una elongación de tamaño unitario era 0,636 y que la función de giro vectorial mas genuinamente matemática, es decir la expresada en radianes contenía también el factor 0,636 en su exponente, y de todo ello se puede inferir que:

• Las elongaciones mas probables de encontrar en un gráfico serán del orden del 63,6 % de la que se toma como medida unitaria patrón, ya que la esperanza matemática equivale a multiplicar la longitud patrón por su probabilidad y por tanto: 1 x 0,636 = 0,636 con lo cual las longitudes mas probables que observaremos en los retrocesos de una elongación cualquiera (que actúa como elongación unitaria patrón) serán del orden del 63,6 % de la misma.

Y eso es lo que multitud de observaciones han encontrado en los gráficos históricos analizados por los seguidores de la Teoría de las Ondas de Elliott, los cuales pese a seguir con el 0,618 o número aúreo preconizado por Elliott, admiten actualmente que los límites de los retrocesos se encuentran dentro de una banda comprendida entre el 61 y el 66 % (ver: http://www.basefinanciera.com/finanzas/publico/aula/at9_1.htm) con lo cual el punto medio de dicha banda se sitúa en:

61 + 66                             
                              --------- = 63,5 % = 0,635                                 
2                              

Lo que confirma que el número medio de la banda que arrojan las comprobaciones se acerca muchísimo mas al número que propugna la Teoría Fractal, que al número que propugna la propia Teoría de Elliott, ya 0,635 solo se desvía una milésima del 0,636.

Por otra parte, sabemos que el caos es un estado intermedio entre el azar y el orden, lo cual se puede visualizar del siguiente modo:

El azar es lo contrario del orden y por tanto se encuentra "simbólicamente" a 180 grados del mismo. A medida que en un sistema ordenado se introduce el azar, la posición se desliza de izquierda a derecha y paulatinamente hacia el caos, y cuando la mezcla de orden y azar es perfecta, el sistema se encuentra en el punto medio o caos perfecto. Si posteriormente el sistema sigue aumentando su cuota de azar de tal manera que esta última supere al orden, se posicionará en la parte derecha de la línea, para terminar en su punto final o azar puro, cuando todo el orden haya desaparecido y el sistema sea azaroso cien por cien.

El control de las pautas ordenadas sobre las azarosas se mantiene hasta el valor mas probable del límite fractal significado por el número 0,636 como tamaño real del módulo de la función germinal función de i y eso, como hemos visto en las tabulaciones anteriores ocurre rigurosamente en los 33,04551436 grados sexagesimales aunque a efectos de seguridad es interesante establecer dicho límite en los 33 grados como máximo. Antes de los 33 grados las pautas, aunque caóticas, están dominadas por el orden, pero a partir de dicho ángulo los patrones de formación se vuelven paulatinamente irreconocibles y por tanto "caóticos"a efectos prácticos.

Con todos los elementos anteriores estamos ya en disposición de dibujar sobre la Caja de Edgeworth, el denominado "cuadrado del caos", dentro del cual el comportamiento probable de cotizaciones o de gráficos de precio en los mercados se difumina y se hace prácticamente imposible de prever y con el cual terminamos este estudio.

EL GRADO 33 Y LA LEMNISCATA

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