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Al Método del Símbolo - 7

  EL MÉTODO DEL SÍMBOLO - 8                          

 
3.- PUNTO TERCERO. LOS CAMPOS DE FACTORES ANGULARES Y EL PRINCIPIO DE HAMILTON.

Un campo se puede definir en líneas muy generales como un espacio acotado. La vida cotidiana nos ofrece ejemplos simples de ello (un campo de trigo, un campo de fútbol, etc.) y ejemplos mas abstractos (un campo de actuación, un campo de trabajo, un campo de estudio, etc.).

La Física ahonda y sofistica el concepto de campo. Los esfuerzos continuados de Michael Faraday, William Thomson, James Clerk Maxwell, Herman von Helmholtz, Oliver Heaviside, Heinrich Hertz, Hendrik A. Lorentz y Albert Einstein consiguieron crear la denominada Teoría de Campos.

De los científicos anteriores, dos de ellos, Faraday y Einstein concibieron la posibilidad de expresar la totalidad de la realidad subyacente en el Universo por medio de un campo, pero mientras el primero veía el mundo como un campo de "fuerzas", el segundo lo veía como un campo de espacios "curvados". (Einstein rechazaba la existencia de fuerzas y las concebía como un subproducto tangible, pero ilusorio, de la realidad última que era, para él, la curvatura del espacio.)

William Berkson, en su conocido libro "Las teorías de los campos de fuerza" (Alianza Universidad, segunda edición 1985) y hacia el final de la página 375 se pregunta: " Un campo de fuerzas permite un comportamiento de campo que no pueda formularse en el lenguaje de los espacios curvos..?", y continúa diciendo – "No conozco la respuesta, aunque me parece un tema interesante." – y concluye diciendo: "Puede que al final resulte que las leyes del campo puedan escribirse indistintamente en términos de un campo de fuerzas o de una teoría del espacio curvo". Naturalmente Berkson no conocía en 1974, fecha de la primera edición inglesa de su libro, los campos de factores angulares asociados, ni tampoco se conocían en la primera edición española de Alianza Universidad (1981), ni en la segunda (1985), ya que dichos campos se establecieron en forma práctica, hacia los comienzos de la década de los noventa, como un intento de concreción de la filosofía de la Teoría del Caos aplicada a los Mercados Financieros.

Anteriormente se habían realizados intentos para la creación de campos de factores angulares fundamentalmente sobre el espacio de las conexiones afines (Weyl 1917), otros sobre una variedad de dichos espacios de conexión afín, en la que se conservan los ángulos pero no las distancias, (London 1967), y mas modernamente también, intentos por parte de Wheeler, (superespacio o multiverso), de una gran brillantez teórica, todos ellos, pero sin consecuencias prácticas aprovechables.

En los "campos de factores angulares asociados" que presentamos, las aplicaciones prácticas son inmediatas y además coexisten dos visiones. La visión de Faraday, en el sentido de que cada posición del espacio acotado o campo se identifica con fuerzas, y al mismo tiempo la visión de Einstein en el sentido de que cada posición del espacio acotado, o campo, se identifica con contracciones; sin embargo, ni las fuerzas son propiamente "fuerzas" en el sentido de Faraday, ni las contracciones son propiamente contracciones en el sentido de Einstein.

En cuanto al Principio de Hamilton o Principio de mínima acción , decir de él, que según Max Planck, (El principio de la acción mínima, 1915), es más general que el "principio de la conservación de la energía", a pesar de que este último sea más conocido a nivel popular. (La energía no se crea ni se destruye solamente se transforma).

Dice Planck que del Principio de Hamilton se desprende el "principio de conservación de la energía", es decir, que éste último forma parte del primero, mientras que no sucede lo mismo si lo planteamos al revés. Por consiguiente, el Principio de Hamilton es más general que el "principio de conservación de la energía".

El principio de Hamilton o principio de la acción mínima, es la formulación más general de la ley del movimiento. Según este principio, todo sistema que en un instante ocupa posiciones dadas, se mueve entre estas posiciones de tal manera que la integral resultante de dicho movimiento (la acción) toma el mínimo valor posible.

En física Newtoniana, la acción es lo contrario a la reacción, y por ello se define como "acción" a la "fuerza ejercida por un cuerpo sobre otro", el cual ejerce sobre el primero una fuerza de igual intensidad y de sentido contrario a la que se denomina "reacción".

En Hamilton, al igual que en Planck la acción es, naturalmente, una fuerza multiplicada por una distancia (trabajo o energía) y multiplicada además por un tiempo, pero si la distancia y el tiempo no se consideran o se consideran constantes y unitarios (tal como ocurre en los espacios de factores angulares asociados) el principio de Hamilton se cumple cuando el sistema pasa de una posición (que contiene una determinada suma angular de fuerzas), a otra posición en la cual su suma angular de fuerzas es menor, con lo cual dicho principio se convierte, en los campos de factores angulares, en lo que, en lenguaje coloquial, podríamos denominar la "ley del mínimo esfuerzo".

Por todo ello, y en dichos campos, podemos establecer que en ausencia de tendencias dominantes, la nueva posición que ocupará el sistema, de las cuatro futuras posiciones posibles contiguas que considera dicho sistema en cada instante, será aquella cuya suma angular de fuerzas sea menor que la posición de la que parte (visión de Faraday), o lo que es lo mismo dicha posición futura será, de entre todas las posibles, aquella que presente la menor contracción del espacio del campo en dicho punto (visión de Einstein), y que por tanto contiene el máximo espacio para albergar dicha nueva posición, dentro de la gama de posiciones "contiguas posibles" que calcula el sistema.

En lenguaje también coloquial diríamos que el sistema tiende a ocupar aquellas posiciones posibles contiguas del campo que tienen mas espacio disponible (menor contracción de dicho espacio), y si por el contrario ocupa otras mas contraídas (con menor espacio disponible), solo lo puede hacer si existen tendencias dominantes que le obliguen a ello, pero en cuanto estas tendencias desaparezcan, volverá a su comportamiento habitual regido por la "ley del mínimo esfuerzo".

Hay que hacer notar que la connotación "posiciones contiguas posibles", empleada anteriormente enlaza con el intervalo de validez del Principio de Hamilton. En efecto, según Landau y Lifshitz (Mecánica, Física Teórica, Ed. Reverté S.A., 1965), la formulación del "principio de la mínima acción" no siempre es válida para la totalidad de la trayectoria del movimiento, sino solamente para cada parte suficientemente pequeña de esta, ya que para toda la trayectoria, la integral (acción) debe ser un extremal, pero no necesariamente un mínimo.
 

3.1 - APLICACIONES DE LOS CAMPOS DE FACTORES ANGULARES.

La importancia de los "campos de factores angulares asociados" viene dada, principalmente, por sus aplicaciones prácticas sobre fenómenos regidos por un patrón de oscilación complejo, representado por medio de una curva en escala variable, como pueden ser los "charts" bursátiles (de hecho las primeras aplicaciones prácticas nacieron ahí) y los gráficos empresariales (análisis del cash-flow, ventas, costes, etc), que permiten extraer, estos últimos, de manera cómoda y rápida consecuencias, imposibles de averiguar por ningún otro método, que son indispensables para la dirección estratégica de una Compañía, pero también "los campos de factores angulares asociados" demuestran ser eficaces en cuestiones de alta física teórica como puede ser el análisis del spin de los patrones de oscilación de bucles de supercuerdas, mediante el cual se vislumbra, por primera vez, la identificación de dichos patrones de oscilación con su apariencia sensorial de partículas.
 

3.2.- CONSTRUCCIÓN DE UN CAMPO DE FACTORES ANGULARES ASOCIADOS

La construcción de un "campo de factores angulares asociados" parte de un concepto mas profundo y mas general que el concepto de coordenadas cartesianas, ya que pretende que la geometría de sus espacios se desprenda libremente de la propia matemática, sin configuraciones previas restrictivas, como ocurre si se parte de ejes cartesianos.

Para ello:

A/ En vez de considerar como elementos unitarios de una longitud, a las longitudes elementales alineadas -1 y 1, se considera como elemento unitario equivalente la expresión:

i 2G / Pi   o lo que es lo mismo:   i G / 90

Siendo:

  • i   = La base de los números imaginarios, es decir, "raíz cuadrada de menos uno".
  • G = Grados de giro, desde un inicio de rotación cualquiera.
  • Pi = El número Pi, es decir: 3,14159...

De las dos expresiones anteriores, la primera utiliza en su exponente la notación radian para expresar los grados de giro, y la segunda utiliza la expresión sexagésimal.

En este trabajo utilizaremos la segunda expresión, la sexagésimal, por ser, a efectos didácticos y para una gran mayoría de personas, mas intuitivos los grados que los radianes.

A pesar de ello, la primera expresión en radianes es mas "matemática", – se deduce formalmente de la matemática si necesidad de convenir que 360 grados equivalen a 2 Pi radianes –, y es, por tanto, mas fácil deducir de ella conceptualidades profundas como puede ser, por ejemplo, que el hecho fractal está incluido en la expresión de giro de los vectores. En efecto:

i 2 G / Pi    =   i G (2 / Pi )   =   i 0,636 G

En la que se aprecia que la probabilidad fractal, 2 / Pi = 0,636 que vimos en el punto 1.1.5 del presente trabajo, vuelve a aparecer en la expresión general de giro de los vectores unitarios, lo que indica que la esperanza matemática de las elongaciones en los gráficos o longitud mas probable, – que es el "patrón de la escala multiplicado por 0,636" –, tiene su germen concomitante en los giros de las Fuerzas Unitarias que "fabrican" la forma de dichos gráficos. A pesar de ello y en aras a la mayor comprensión de este estudio, los grados que utilizaremos en las fórmulas serán, como hemos dicho anteriormente, los grados sexagésimales, o lo que es lo mismo:

i G / 90

La geometría implícita en la expresión del elemento unitario "i elevado a los grados de giro dividido por noventa", es la de un barrido angular desde una posición inicial cualquiera, hasta la posición contraria a la inicial, o lo que es lo mismo, la geometría implícita es "un haz de ejes orientados" que se abren en abanico, con origen en el punto donde las longitudes elementales alineadas 1 y -1 de la concepción cartesiana cambian de signo, este es el punto cero.

Si el espacio substrato en el que se efectúa el giro o barrido es "plano" (espacio de Euclides), la posición contraria estará a 180 grados de la primera, si es "cerrado" (espacio de Riemman) estará a más de 180 grados, y si el espacio es "abierto" (espacio de Lobachevsky) estará a menos de 180 grados, todo ello sin eje de referencia alguno, ya que la referencia es la posición en la que se inicia el giro en cada uno de dichos espacios, sea cual fuere la posición inicial. En este estudio consideraremos solamente como sustrato los espacios euclidianos, pero la generalización de las conclusiones a los otros dos tipos de espacio es inmediata con solo considerar la siguiente transformación:

i G / 90 = i G / (T/2)

Siendo:

  • T = 180 para espacios planos o de Euclides.
  • T > 180 para espacios cerrados o de Riemman.
  • T < 180 para espacios abiertos o de Lobachevsky.

Y esta sería la expresión general de un ESPACIO ANGULAR UNIDIMENSIONAL, siendo T/2 ( o 90 en los espacios aquí considerados), la abertura angular del haz de ejes orientados (imaginarios), a partir de la cual empiezan sus tramos negativos, y siendo además la separación de ambos tramos en el plano real delimitado por las longitudes alineadas 1 (posición de partida) y –1 (posición final después del giro T/2), precisamente el punto cero de separación entre ambas.

B/ Para alcanzar la expresión de un ESPACIO ANGULAR BIDIMENSIONAL, en vez de considerar como elementos unitarios de una superficie, la intersección a noventa grados de dos longitudes elementales alineadas de alcance 1 y -1 cada una de ellas, tal como se hace en el sistema de coordenadas cartesianas, que precisamente y por este motivo pasa a ser una mera técnica de acotación sin mas consecuencias, (dicha intersección no se desprende de la propia Matemática, es un invento de Descartes), lo que hacemos en factores angulares asociados, es multiplicar por si misma (elevar al cuadrado) la expresión (sexagésimal) del equivalente "angular" de la longitud elemental, tal como haríamos en geometría para obtener la expresión de una superficie a partir de una longitud, con lo cual se obtiene:

i G / 90 x i G / 90 = i G / 45

Lo cual nos indica que la geometría de la superficie implícita en la expresión "i elevado a los grados de giro dividido por 45" es la de un cuadrado dividido en dos partes por una diagonal divisoria, ya que si en la expresión unidimensional aparecía el 90 recordemos que era porque a 90 grados de giro imaginario de los ejes reales 1 y -1 se encontraba el punto cero de separación, y aquí, la aparición del 45 en la expresión bidimensional, indica que a 45 grados de los ejes reales de acotación se encontrará la línea cero de separación de dos planos, uno positivo y otro negativo, que en este caso, al ser la figura total un cuadrado, serán dos superficies en forma de triángulo.
 

 
EL MÉTODO DEL SÍMBOLO 8

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